Roket denklemi

Roket denklemi, bir roketin kazanabileceği hız değişimini (delta-v), egzoz gazının hızına ve roketin kütlesinin ne kadarının yakıt olduğuna bağlayan temel formüldür: Δv = ve · ln(m0 / mf). Burada ve egzoz hızı, m0 yakıtlı başlangıç kütlesi, mf yakıt bittikten sonraki kütledir.

Nasıl işler?

Roket, geriye doğru fırlattığı gazın tepkisiyle ileri gider. Ama yakıt yandıkça roketin kendisi de hafifler; bu yüzden aynı itme gücü sonradan daha büyük ivme verir. Denklem bu değişen kütleyi hesaba katar ve doğal logaritma içerir.

Önemli sonuç şudur: hız kazancı yakıt miktarıyla doğrusal artmaz. Kütle oranını iki katına çıkarmak delta-v'yi iki katına çıkarmaz; yalnızca ln 2 kadar (yaklaşık 0,69 ve) ekler. Örneğin egzoz hızı saniyede 3 kilometre olan bir motorla kütle oranı 10 ise Δv = 3 × ln 10 ≈ 6,9 km/s eder. Oranı 100'e çıkarmak ise yalnızca 13,8 km/s verir ve ilk durumun yalnızca iki katıdır.

Alçak Dünya yörüngesine çıkmak için gereken hız yaklaşık 7,8 km/s'dir. Atmosfer sürtünmesi ve yerçekimi kayıpları da eklenince toplam yaklaşık 9,3-10 km/s'lik bir delta-v gerekir. Hidrojen-oksijen motorların egzoz hızı saniyede yaklaşık 4,4 kilometre olduğundan, tek aşamalı bir roket için kütlenin büyük kısmı yakıt olmalıdır; yapı, motor ve yük için çok az pay kalır. Çözüm kademelemedir: boşalan tanklar ve motorlar atılır, böylece sonraki kademe yalnızca kalan kütleyi hızlandırır.

Örnekler

• Satürn V roketi yaklaşık 111 metre uzunluğunda, kalkışta yaklaşık 2.800-2.970 tonluk bir kütleye sahipti ve kütlesinin büyük bölümü yakıttı. Üç kademeli tasarımı ile yaklaşık 43,5 tonluk bir yükü Ay'a yollayabildi.
• Gezegenler arası yolculukta, ek delta-v gereken her manevra yakıt bütçesinden düşer. Bir göreve tasarımda gereken toplam delta-v "delta-v bütçesi" olarak çıkarılır.
• İyon motorlarının egzoz hızı kimyasal motorlarınkinin birkaç katıdır; küçük itkiyle bile yüksek delta-v elde edilir. Ancak ivme çok küçüktür.

Tarihçe

Denklemi Rus öğretmen Konstantin Tsiolkovski türetti ve 1903'te yayımladı. Tsiolkovski uzay yolculuğunun matematiğini ilk ciddi biçimde ortaya koyan kişi olarak anılır. Formül, ondan önce İngiliz matematikçi William Moore tarafından 1810'da ortaya konmuş ve 1813'te yayımlanmıştı. Robert Goddard 1912'de, Hermann Oberth ise 1920'de aynı sonuca bağımsız olarak ulaştı.

Neden önemli?

Roket denklemi, uzay yolculuğunun neden bu kadar pahalı olduğunu açıklar: yakıtı taşımak için yakıt gerekir ve yük oranı küçük kalır. Mühendisler bu "üstel cezanın" etrafından dolaşmak için kademeleme, daha verimli motorlar, hafif yapılar ve yörünge mekaniğinden yararlanır (kütle çekim yardımı gibi).

Delta-v bütçesi

Mühendisler bir görevi planlarken her manevra için gereken delta-v'yi toplar ve bunu "delta-v bütçesi" olarak tutar. Alçak Dünya yörüngesine çıkış yaklaşık 9,3-10 km/s, oradan Ay'a yönelmek yaklaşık 3,1-3,2 km/s, Ay yörüngesine girmek yaklaşık 0,8-1 km/s ister. Her manevra bütçeden düşer; roket denklemi de bu bütçeyi yakıt kütlesine çevirir. Bu hesap sayesinde bir görevin gerçekçi olup olmadığı, tek bir tabloyla bir bakışta anlaşılır. Yakıt kütlesi bütçeyle üstel biçimde arttığı için küçük bir delta-v ihtiyacı artışı bile ciddi bir kütle artışı demektir.

İlgili terimler

• Delta-v
• Özgül itki
• İtki
• Kademeli roket
• Hohmann transferi
• Yeniden kullanılabilir roket