E=mc²: kütle-enerji eşdeğerliği

Fizikte kendisini herkesin tanıdığı tek bir denklem varsa o da E = mc²'dir. Söylediği şey hem basit hem şaşırtıcıdır: Kütle bir enerji biçimidir. Durgun bir cismin enerjisi, kütlesinin ışık hızının karesiyle çarpımına eşittir. Işık hızının karesi çok büyük bir sayı olduğundan, çok küçük bir kütle bile muazzam bir enerjiye karşılık gelir.

1905: üç sayfalık bir ek

Einstein, özel görelilik makalesinden birkaç ay sonra, 21 Kasım 1905'te yayımlanan kısa bir makalede bu sonuca ulaştı. Makalenin başlığı bir soruydu: "Bir cismin eylemsizliği enerji içeriğine bağlı mıdır?" İlginçtir ki denklemi bugünkü biçimiyle yazmadı. Makalede Almanca bir cümleyle, bir cisim L enerjisini ışıma olarak salarsa kütlesinin L/V² kadar azalacağını söyledi; V, o dönemde ışık hızı için kullandığı semboldü. Sonuç ayrıca yaklaşıktı: Einstein dördüncü ve daha yüksek dereceden terimleri ihmal ettiğini belirtmişti. Işık hızı için küçük c harfini kullanan biçimi 1907'de yayımladı.

Fikrin habercileri vardı. Umov 1873'te kütle ile enerji arasında E = kmc² biçiminde bir ilişki önermiş, k katsayısını 0,5 ile 1 arasında tutmuştu. Henri Poincaré 1900'de ışımanın enerjisini m = E/c² değerinde "hayali" bir kütleyle ilişkilendirdi. Hasenöhrl 1904'te kapalı bir kovuktaki ışımanın görünür kütlesini (4/3)·E/c² olarak hesapladı. Ernest Rutherford ve Frederick Soddy ise 1903'te maddenin içinde büyük miktarda gizli enerji bulunduğunu ileri sürmüştü. Einstein'ın katkısı, bu ilişkiyi ışımaya özgü bir tuhaflık olmaktan çıkarıp her türlü kütle ve enerji için geçerli, özel göreliliğin genel bir sonucu hâline getirmesiydi.

Denklem ne söylüyor?

Denklemdeki m, cismin durgun kütlesidir (değişmez kütle de denir): cisimle birlikte hareket eden bir gözlemcinin ölçtüğü, hızdan bağımsız kütle. Foton gibi kütlesiz parçacıkların durgun kütlesi sıfırdır; enerjileri ve momentumları vardır ama durgun kütleleri yoktur.

Denklem iki yönde okunabilir. Bir sisteme enerji eklemek kütlesini artırır, sistemden enerji çıkarmak kütlesini azaltır. Bu yalnızca nükleer tepkimelerde değil, her yerde geçerlidir; sadece gündelik ölçeklerde fark ölçülemeyecek kadar küçüktür. Örneğin bir zamanlar kilogramın tanımı olan platin-iridyum standart kütlenin sıcaklığı 1 °C değiştiğinde, kütlesi yaklaşık 1,5 pikogram (gramın trilyonda 1,5'i) değişir. Dünya'nın kendi ekseni etrafındaki dönme enerjisi 10²⁴ joule'den fazladır ve bu da 10⁷ kilogramdan fazla kütleye karşılık gelir; gezegenin toplam kütlesinin yanında önemsiz bir miktar.

Bir kilogramın enerjisi

Işık hızı saniyede yaklaşık 300.000 km olduğundan c² çok büyük bir sayıdır. Bir kilogram kütlenin enerji karşılığı yaklaşık 89,9 petajoule'dür (9 × 10¹⁶ joule). Bu, yaklaşık 21,5 megaton TNT'lik bir patlamanın enerjisine denk gelir. Elbette bu enerji, kütleyi tümüyle başka bir biçime dönüştürmeyi gerektirir; gerçek süreçler kütlenin yalnızca küçük bir kesrini serbest bırakır.

Çekirdekteki gizli enerji

Denklemin en çarpıcı uygulaması atom çekirdeğidir. Bir çekirdeğin kütlesi, onu oluşturan proton ve nötronların tek tek kütlelerinin toplamından biraz azdır. Bu farka kütle eksikliği denir ve çekirdeği bir arada tutan bağlanma enerjisine karşılık gelir: Çekirdeği parçalarına ayırmak için en az bu kadar enerji vermek gerekir. Çekirdekler yeniden düzenlenirken (bölünürken ya da birleşirken) toplam kütle değişir ve fark enerji olarak açığa çıkar.

• İlk deneysel sınama: 1933'te, lityum-7 çekirdeğine proton çarptırılıp iki alfa parçacığı elde edilen tepkime, denklemi yüzde 0,5 hassasiyetle sınamaya olanak verdi.
• Fisyonun keşfi: 1938'de Lise Meitner ve Otto Frisch, ikiye bölünen uranyum çekirdeğinin parçalarının toplamda yaklaşık bir protonun beşte biri kadar daha hafif olduğunu hesapladı. Bu kütle farkı, ölçülen yaklaşık 200 MeV'lik enerjiyle uyuşuyordu.
• Radyoaktif bozunma: Uranyumun bozunmasında başlangıçtaki atom kütlesinin yaklaşık yüzde 0,1'i kaybolur ve enerjiye dönüşür.

Bu oranların ne anlama geldiğini nükleer silahların tarihi acı biçimde gösterdi. Trinity deneyinde ve Nagazaki'ye atılan bombada kullanılan türde bir düzenekte, yaklaşık 6,15 kilogram plütonyumun ancak 1 kilogram kadarı bölünmüş ve toplamda yalnızca yaklaşık bir gram kütle kaybolmuştu. Bu bir gramın karşılığı 21 kiloton TNT'lik bir patlamaydı.

Hareket eden cisimler için genel biçim

E = mc², durgun bir cismin enerjisini verir. Cisim hareket ediyorsa toplam enerjisi Lorentz çarpanı kadar büyür: E = γmc². Aynı ilişki, enerji ile momentum (p) arasında E² = (pc)² + (mc²)² biçiminde de yazılabilir. Bu genel formül iki uç durumu birlikte kapsar. Cisim durgunsa momentum sıfırdır ve formül E = mc²'ye indirgenir. Foton gibi kütlesiz bir parçacık içinse m sıfırdır ve formül E = pc'ye indirgenir: Işığın kütlesi yoktur ama enerjisi ve momentumu vardır.

Bu genel ilişki, parçacık fiziğinde gündelik bir araçtır. Hızlandırıcılarda çarpıştırılan parçacıkların hareket enerjisi, çarpışmada yeni ve daha ağır parçacıkların kütlesine dönüşebilir. Parçacıkların kütleleri bu yüzden genellikle enerji birimleriyle (örneğin MeV ya da GeV) ifade edilir.

Yanlış anlamalar

E = mc² çoğu zaman "kütle enerjiye dönüşür" diye özetlenir. Daha doğru ifade, kütlenin zaten bir enerji biçimi olduğudur. Bir nükleer santralde ya da bir yıldızın çekirdeğinde olan, enerjinin bir biçimden (çekirdeklerin durgun kütlesi) başka biçimlere (ışıma, hareket enerjisi, ısı) geçmesidir; toplam enerji korunur. Kimyasal tepkimelerde de aynı ilke geçerlidir, ama oradaki kütle değişimleri ölçülemeyecek kadar küçüktür.

Denklemin kültürel ünü de büyüktür. Einstein'ın denklemi el yazısıyla yazdığı bilinen dört kopyadan biri, Ludwik Silberstein'a gönderdiği bir mektup, Mayıs 2021'de 1,2 milyon dolara satıldı.

Kısaca

• E = mc², Einstein'ın 21 Kasım 1905'te yayımlanan kısa makalesinden çıkar; denklem ilk hâlinde L/V² biçiminde ve sözle ifade edilmişti.
• Kütle bir enerji biçimidir; bir sisteme enerji eklemek kütlesini artırır.
• 1 kilogramın enerji karşılığı yaklaşık 89,9 petajoule, yani yaklaşık 21,5 megaton TNT'dir.
• Nükleer enerji, çekirdeklerin bağlanma enerjisindeki ve dolayısıyla kütlesindeki farktan gelir.
• Denklem 1933'te yüzde 0,5 hassasiyetle sınandı ve o günden beri sayısız deneyle doğrulandı.

Kaynaklar: Wikipedia — Mass–energy equivalence, Wikipedia — Special relativity, Wikipedia — Speed of light